Các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 Toán năm 2024 | Tài liệu ôn thi Toán vào 10
Những dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024 là điều mà các thí sinh cần phải nắm rõ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp trong đề thi ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024.
Dạng bài tập: Rút gọn biểu thức
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Phương pháp
Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau
B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau
xác định ⇔A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)
xác định ⇔ B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)
xác định ⇔ B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)
B2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện
B3: Kết luận
Ví dụ 1
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Giải
Điều kiện
Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1
Ví dụ 2
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Giải
Điều kiện xác định của P là
Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9
Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số
Phương pháp
Bước 1: | Tìm điều kiện xác định. |
Bước 2: | Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. |
Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như:
Sử dụng hằng đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức
+ Đổi dấu phân thức :
Bước 3: | Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. |
Bước 4: | Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn. |
Ví dụ 1
Rút gọn biểu thức
với x > 0, x ≠ 4
Giải
Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:
Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không phải đi tìm. Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rồi mới rút gọn
Ví dụ 2
Rút gọn biểu thức
với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9
Giải
Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Phương pháp
Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)
Cách giải:
+ Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính
+ Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính
Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)
Ví dụ 1: Cho biểu thức
với x > 0
Tính giá trị của P khi x = 4
Giải
Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi
x = 4
Khi x = 4 thì
Vậy khi x = 4 thì
Ví dụ 2: Cho biểu thức
với x > 0 và x ≠ 4. Tính giá trị của P khi
Giải
Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi
Ta có
Khi thì
Vậy khi thì
Dạng 4: Tính giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp
Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)
Cách giải:
B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)
B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x
B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại
Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)
Cách giải:
B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)
B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x
B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại
Ví dụ
Ví dụ 1: Cho với x ≥ 0. Tìm x biết
Giải
Đặt (t ≥ 0), khi đó phương trình (*) trở thành:
Ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
(nhận) , (loại)
Với
Ta thấy > 0 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0)
Vậy với thì
Ví dụ 2: Cho với x ≥ 0, x ≠ 4. Tìm x biết P>1
Giải
Vì -1 < 0 nên bất phương trình
Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
Phương pháp
TH 1: Nếu ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau
B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)
B2: Lập luận để biểu thức nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a. Từ đó tìm x
B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại
TH 2: Nếu ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau
B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)
B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng
( a là số thực)
B3: Làm tương tự trường hợp 1
Ví dụ 1: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Giải
Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0
Để P nguyên thì √x +1 là ước của 3, tức là √x +1 nhận các giá trị -3, 3, -1, 1
Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên
Ví dụ 2: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Giải
Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4
Ta có
Để P nguyên thì √x -2 là ước của 4, tức là √x -2 nhận các giá trị -4, 4, -1, 1, -2, 2
Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên
Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp
Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau
+B1: Tìm điều kiện xác định của P
+B2: Rút gọn P nếu cần
+B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra
Ví dụ 1
Cho ,
chứng minh rằng
Giải
Ta có
Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1
Rút gọn biểu thức
Ta có
Vì x ≥ 0 nên x + √x +1 > 0 do đó 3(x + √x +1) > 0. Nhân hai vế của (*) với 3(x + √x +1) ta được bất đẳng thức cùng chiều
(luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)
Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1 thì
Ví dụ 2:
Cho biểu thức
với 0 < a < 1.
Chứng minh rằng P = –1
Giải
Với 0 < a < 1 ta có:
Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)
Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Phương pháp
Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số
– Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số ta tìm được GTNN
– Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm ta tìm được GTLN
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
Cho hai số không âm a và b ta có:
Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0
Ví dụ 1: Cho , tìm GTLN của biểu thức P
Giải
Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0
Ta có x ≥ 0
Dấu ‟ = ” xảy ra x = 0
Vậy GTLN của P là 3/2 đạt được khi và chỉ khi x = 0
Ví dụ 2:
Cho
tìm GTLN của biểu thức Q
Giải
Với x ≥ 0; x ≠ 9 thì
Vậy với x ≥ 0; x ≠ 9 thì
Vì x ≥ 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 9 nên √x +2 ≥ 2 với mọi x ≥ 0; x ≠ 9
với mọi x ≥ 0; x ≠ 9
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = 0 (thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9 )
Ví dụ 3: Cho biểu thức , với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q
Giải
Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:
Áp dụng Co-si cho hai số dương: ta có
Dấu “=” xảy ra khi
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9
Các dạng bài tập: Giải phương trình
Dạng 1: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)
1. Giải bằng phương pháp bình phương hai vế
Phương pháp
-B1: Đặt điều kiện cho phương trình
-B2: Bình phương hai vế thu được phương trình hệ quả
-B3: Giải phương trình hệ quả, tìm nghiệm
-B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận
Ví dụ: Giải phương trình
Giải
Điều kiện:
Phương trình
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (nhận)
Ta thấy x = 18 không thỏa mãn điều kiện (loại)
Vậy phương trình có một nghiệm x = 3
2. Giải bằng cách đưa về phương trình tích
Phương pháp
-B1: Đặt điều kiện cho phương trình
-B2: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích bằng việc sử dụng một số đẳng thức sau
u + v = 1 + uv ⇔(u – 1)(v – 1) = 0
au + bv = ab + uv ⇔(u – b)(v – a) = 0
-B3: Giải từng phương trình tích tìm nghiệm
-B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận
Ví dụ: Giải phương trình
(1)
Giải
Ta có
⇒Phương trình:
(1)
(dạng u + v = 1 + uv)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1
3. Giải bằng cách dùng hằng đẳng thức
Phương pháp
– B1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng: (a-b)2 hoặc (a+b)2 hoặc (a-b)3 hoặc (a+b)3
-B2: Sử dụng công thức hoặc để khử dấu căn
-B3: Giải phương trình và kết luận
Ví dụ: Giải phương trình
Giải
Vì
nên phương trình đã cho tương đương với
|√x – 2| – |√x – 3| = 1
Điều kiện: x ≥ 0
TH1: nếu
thì phương trình trở thành
(√x – 2) – (√x – 3) = 1 <=> 1 = 1
⇒phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0
TH2:
thì phương trình trở thành
(không thỏa mãn 4 ≤ x < 9)
⇒loại
TH3:
⇒phương trình vô nghiệm
TH4:
thì phương trình trở thành
(2 – √x) – (3 – √x) = 1 <=> 0 = 2
⇒phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn
Phương pháp
-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)
-B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ
Đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoàn toàn theo ẩn phụ
-B3: Giải phương trình mới tìm ẩn phụ
-B4: Thay giá trị của ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ ở B2 để tìm ẩn ban đầu
– B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận
Ví dụ: Giải phương trình (x + 1)4 + (x + 3)4 = 2 (1)
Giải
Đặt t = x + 2 .
Thay (*) vào phương trình (1) ta được
Với t2 = 0 => t = 0 => x + 2 = 0 <=> x = -2
Với t2 = -6 ( phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2
2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương pháp
-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)
-B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ
Đưa phương trình đã cho về phương trình vừa chứa ẩn cũ vừa chứa ẩn phụ
-B3: Giải phương trình ở bước 2 tìm mối liên hệ giữa ẩn cũ và ẩn phụ
-B4: Kết hợp kết quả tìm được ở bước 3 với biểu thức đặt ẩn phụ ở bước 2 để tìm ra ẩn ban đầu
– B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận
Ví dụ: Giải phương trình
(1)
Giải
Đặt
Phương trình (1) trở thành :
t2 + 5x = (x + 5)t
Với t = 5 (thỏa mãn) thì
Với t = x thì
⇒vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Dạng 3: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình (hệ tạm)
Phương pháp
Nếu phương trình có dạng mà A – B = α.C ( C có thể là hằng số hoặc là biểu thức của x) thì ta có thể biến đổi như sau
Phương trình
Khi đó ta có hệ phương trình
Ví dụ: Giải phương trình
(1)
Giải
Ta có
⇒phương trình luôn xác định với mọi x
Điều kiện phải thêm: VP = x + 4 ≥ 0
Ta thấy
Với x = -4 thì (1) trở thành√37 + √37 = 0 (vô lí) x = -4 không là nghiệm của phương trình (1)
Với x ≠ -4 thì nên ta nhân và chia VT(1) với biểu thức
Phương trình
Khi đó ta có hệ
Ta thấy x = 0, x = 8/7 thỏa mãn x ≠ -4 và thử vào phương trình ban đầu là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 8/7
Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp
Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải
Ta có:
Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :
(thỏa mãn điều kiện)
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 4, x2 = -5
Ví dụ 2 : Giải phương trình
(1)
Giải
Phương trình
Điều kiện : x ≠ -3 và x ≠ 1
Phương trình
Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình vô nghiệm
Dạng 5: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách:
+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của dấu giá tri tuyệt đối
+ Bình phương hai vế của phương trình
+ Đặt ẩn phụ
Một số dạng phương trình cơ bản
+ Dạng 1:
+ Dạng 2:
+ Dạng 3:
Để giải phương trình này ta thường dùng phương pháp khoảng
Ví dụ: Giải các phương trình sau
Giải
a. Phương trình
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 4, x = -2/3
b. Phương trình
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = -1/3
c. Phương trình
Đặt . Khi đó phương trình trở thành
Với
Với
Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 3, x = -1, x = 4, x = -2
d. Sử dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối ta có bảng phá dấu giá trị tuyệt đối sau
VVới x < -3 thì phương trình đã cho trở thành -2x + 4 =10 -2x = 6x = -3
Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện x < -3 (loại)
Với -3 ≤ x ≤ 7 thì phương trình đã cho trở thành 10 = 10 phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 7
Với x > 7 thì phương trình đã cho trở thành 2x – 4 =10 2x = 14x = 7
Ta thấy x = 7 không thỏa mãn điều kiện x > 7 (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
**Hy vọng rằng những dạng bài tập trên sẽ giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo và rèn luyện hiệu quả trong quá trình ôn thi. Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
16 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán đã được cập nhật. Để làm quen với các dạng bài hay gặp trong đề thi,...
TIN CÙNG CHUYÊN MỤC
ĐƯỢC QUAN TÂM
-
Phát hiện tài khoản lương hưu của mẹ chồng đã bị tiêu sạch, Tôi quyết gửi mẹ vào viện dưỡng lão: Không ai oán trách, còn cảm ơn tôi
Thứ bảy, 31/08/24 3:03 ChiềuNgười phụ nữ Trung Quốc và chồng choáng váng khi biết nguyên nhân tài khoản lương hưu vốn nhận hơn 6 triệu đồng/tháng của mẹ chồng không còn... -
Thấy vợ nhận được tin nhắn “chồng em có nhà không”, người đàn ông làm 1 việc khiến bản thân phải trả giá
Thứ ba, 24/09/24 8:07 ChiềuVì một khoảnh khắc quá nóng giận, người này đã gây ra tai họa cho hai gia đình. Chị Trương Ngân Hoa (Trung Quốc) đang nằm trên giường... -
Visual đời thường “Không phải dạng Vừa” của 3 mỹ nhân phim Cám
Thứ tư, 04/09/24 8:47 SángỞ ngoài đời thực, các diễn viên nữ của bộ phim Cám đều gây ấn tượng vì nhan sắc xinh đẹp. Một trong những bộ phim được khán... -
Chồng tôi lương giám đốc 40 triệu/tháng Nhưng chỉ đưa vợ 150 ngàn mỗi ngày, cho đến khi bị mẹ chồng dạy cho một bài học thích đáng
Thứ hai, 19/08/24 9:20 SángMẹ chồng tôi đúng là cao tay, chỉ dùng một chiêu thôi đã giúp chồng tôi thay đổi. Chồng tôi là giám đốc chi nhánh công ty, tôi... -
Nơi được ví như “Đà Lạt thu nhỏ”, cách thành phố Huế khoảng 70km, nhiều người bất ngờ vì chưa hề nghe tên
Thứ năm, 19/09/24 6:51 ChiềuCách trung tâm thành phố Huế về phía Tây khoảng 70km, du khách sẽ tìm đến được điểm đến được ví như "Đà Lạt thu nhỏ", hay "Tây... -
Vụ giết tài xế taxi, phi tang thi thể bên bờ sông: Hung thủ mua xăng về định đốt ô tô
Thứ tư, 11/09/24 1:55 ChiềuSau khi sát hại tài xế taxi, Phương lục lấy đi 3 triệu đồng rồi kéo thi thể nạn nhân xuống mép nước bờ sông Đáy, lấy cành... -
Trách em dâu cho chồng ăn đạm bạc, tôi xấu hổ vô cùng khi em đưa ra tờ xét nghiệm cùng câu nói đầy thâm thúy
Thứ sáu, 09/08/24 11:35 SángVốn dĩ đã không thích em dâu, lại thấy mâm cơm em nấu mà tôi tức anh ách. Em dâu tôi, Thủy, là một cô gái mạnh mẽ... -
Trong ngày có 1 khung giờ vàng nên đi ngủ, Bạn làm được sẽ trẻ khỏe, Bổ tim phổi, Cơ thể như được tái sinh
Thứ ba, 17/09/24 4:19 ChiềuNhiều người không biết trong thực tế mỗi ngày có 1 khung giờ vàng để đi ngủ là thời gian bảo vệ sức khỏe tốt nhất lại trì...