Những dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024 là điều mà các thí sinh cần phải nắm rõ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp trong đề thi ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024.

Dạng bài tập: Rút gọn biểu thức

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau

 xác định ⇔A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

 xác định ⇔ B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)

 xác định ⇔ B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)

B2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện

B3: Kết luận

Ví dụ 1

Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Giải

Điều kiện

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Giải

Điều kiện xác định của P là

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số

Phương pháp

Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như:

Sử dụng hằng đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức

+ Đổi dấu phân thức :

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức

với x > 0, x ≠ 4

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không phải đi tìm. Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rồi mới rút gọn

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức

với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

 Phương pháp

Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)

Cách giải:

+ Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính

+ Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính

Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)

Ví dụ 1: Cho biểu thức

với x > 0

Tính giá trị của P khi x = 4

Giải

Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

x = 4

Khi x = 4 thì

Vậy khi x = 4 thì

Ví dụ 2: Cho biểu thức

với x > 0 và x ≠ 4. Tính giá trị của P khi

Giải

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

Ta có

Khi  thì

Vậy khi thì

Dạng 4: Tính giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho với x ≥ 0. Tìm x biết

Giải

Đặt  (t ≥ 0), khi đó phương trình (*) trở thành:

Ta có nên phương trình  có hai nghiệm phân biệt

(nhận) , (loại)

Với

Ta thấy > 0 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0)

Vậy với thì

Ví dụ 2: Cho  với x ≥ 0, x ≠ 4. Tìm x biết P>1

Giải

Vì -1 < 0 nên bất phương trình

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

 Phương pháp

TH 1: Nếu ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Lập luận để biểu thức  nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a. Từ đó tìm x

B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

TH 2: Nếu ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng

( a là số thực)

B3: Làm tương tự trường hợp 1

Ví dụ 1: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Để P nguyên thì √x +1 là ước của 3, tức là √x +1 nhận các giá trị -3, 3, -1, 1

Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên

Ví dụ 2: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4

Ta có

Để P nguyên thì √x -2 là ước của 4, tức là √x -2 nhận các giá trị -4, 4, -1, 1, -2, 2

Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên

Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

+B1: Tìm điều kiện xác định của P

+B2: Rút gọn P nếu cần

+B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

 Ví dụ 1

Cho ,

chứng minh rằng

Giải

Ta có

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1

Rút gọn biểu thức

Ta có

Vì x ≥ 0 nên x + √x +1 > 0 do đó 3(x + √x +1) > 0. Nhân hai vế của (*) với 3(x + √x +1) ta được bất đẳng thức cùng chiều

(luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)

Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1 thì

Ví dụ 2: 

Cho biểu thức

với 0 < a < 1.

Chứng minh rằng P = –1

Giải

Với 0 < a < 1 ta có:

Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)

Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

 Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số

– Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số ta tìm được GTNN

– Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm ta tìm được GTLN

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Cho hai số không âm a và b ta có:

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

Ví dụ 1: Cho , tìm GTLN của biểu thức P

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Ta có x ≥ 0

Dấu ‟ = ” xảy ra x = 0

Vậy GTLN của P là 3/2 đạt được khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: 

Cho

tìm GTLN của biểu thức Q

Giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9 thì

Vậy với  x ≥ 0; x ≠ 9 thì

Vì x ≥ 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 9 nên √x +2 ≥ 2 với mọi x ≥ 0; x ≠ 9

với mọi x ≥ 0; x ≠ 9

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = 0 (thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9 )

Ví dụ 3: Cho biểu thức , với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q

Giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

Áp dụng Co-si cho hai số dương:  ta có

Dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9

Các dạng bài tập: Giải phương trình

Dạng 1: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)

1. Giải bằng phương pháp bình phương hai vế

Phương pháp                                                                                

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình

-B2: Bình phương hai vế thu được phương trình hệ quả

-B3: Giải phương trình hệ quả, tìm nghiệm

-B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

Giải

Điều kiện:

Phương trình

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (nhận)

Ta thấy x = 18 không thỏa mãn điều kiện (loại)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 3

2. Giải bằng cách đưa về phương trình tích

Phương pháp

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình

-B2: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích bằng việc sử dụng một số đẳng thức sau

u + v = 1 + uv ⇔(u – 1)(v – 1) = 0

au + bv = ab + uv ⇔(u – b)(v – a) = 0

-B3: Giải từng phương trình tích tìm nghiệm

-B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

(1)

Giải

Ta có

⇒Phương trình:

(1)

(dạng u + v = 1 + uv)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1

3. Giải bằng cách dùng hằng đẳng thức

Phương pháp         

– B1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng: (a-b)² hoặc (a+b)² hoặc (a-b)³ hoặc (a+b)³

-B2: Sử dụng công thức hoặc  để khử dấu căn

-B3: Giải phương trình và kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

Giải

Vì

nên phương trình đã cho tương đương với

|√x – 2| – |√x – 3| = 1

Điều kiện: x ≥ 0

TH1: nếu

thì phương trình trở thành

(√x – 2) – (√x – 3) = 1 <=> 1 = 1

⇒phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

TH2:

thì phương trình trở thành

(không thỏa mãn 4 ≤ x < 9)

⇒loại

TH3:

⇒phương trình vô nghiệm

TH4:

thì phương trình trở thành

(2 – √x) – (3 – √x) = 1 <=> 0 = 2

⇒phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

Dạng 2: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

-B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ

Đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoàn toàn theo ẩn phụ

-B3: Giải phương trình mới tìm ẩn phụ

-B4: Thay giá trị của ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ ở B2 để tìm ẩn ban đầu

– B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

Ví dụ: Giải phương trình  (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ = 2 (1)

Giải

Đặt t = x + 2 .

Thay (*) vào phương trình (1) ta được

Với t² = 0 => t = 0 => x + 2 = 0 <=> x = -2

Với t² = -6 ( phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = -2

2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

-B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ

Đưa phương trình đã cho về phương trình vừa chứa ẩn cũ vừa chứa ẩn phụ

-B3: Giải phương trình ở bước 2 tìm mối liên hệ giữa ẩn cũ và ẩn phụ

-B4: Kết hợp kết quả tìm được ở bước 3 với biểu thức đặt ẩn phụ ở bước 2 để tìm ra ẩn ban đầu

– B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

(1)

Giải

Đặt

Phương trình (1) trở thành :

t² + 5x = (x + 5)t

Với t = 5 (thỏa mãn) thì

Với t = x thì

⇒vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Dạng 3: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình (hệ tạm)

Phương pháp

Nếu phương trình có dạng  mà A – B = α.C ( C có thể là hằng số hoặc là biểu thức của x) thì ta có thể biến đổi  như sau

Phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

(1)

Giải

Ta có

⇒phương trình luôn xác định với mọi x

Điều kiện phải thêm: VP = x + 4 ≥ 0

Ta thấy

Với x = -4 thì (1) trở thành√37 + √37 = 0 (vô lí) x = -4 không là nghiệm của phương trình (1)

Với x ≠ -4 thì nên ta nhân và chia VT(1) với biểu thức

Phương trình

Khi đó ta có hệ

Ta thấy x = 0, x = 8/7 thỏa mãn x ≠ -4 và thử vào phương trình ban đầu là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 8/7

Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp

Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Giải

Ta có:

Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :

(thỏa mãn điều kiện)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 4, x₂ = -5

Ví dụ 2 : Giải phương trình

(1)

Giải

Phương trình

Điều kiện : x ≠ -3 và x ≠ 1

Phương trình

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình vô nghiệm

Dạng 5: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của dấu giá tri tuyệt đối

+ Bình phương hai vế của phương trình

+ Đặt ẩn phụ

Một số dạng phương trình cơ bản

+ Dạng 1:

+ Dạng 2:

+ Dạng 3:

Để giải phương trình này ta thường dùng phương pháp khoảng

Ví dụ: Giải các phương trình sau

Giải

a. Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 4, x = -2/3

b. Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = -1/3

c. Phương trình

Đặt . Khi đó phương trình trở thành

Với

Với

Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 3, x = -1, x = 4, x = -2

d. Sử dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối ta có bảng phá dấu giá trị tuyệt đối sau

VVới x < -3 thì phương trình đã cho trở thành  -2x + 4 =10 -2x = 6x = -3

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện x < -3 (loại)

Với -3 ≤ x ≤ 7 thì phương trình đã cho trở thành  10 = 10 phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 7

Với x > 7 thì phương trình đã cho trở thành  2x – 4 =10 2x = 14x = 7

Ta thấy x = 7 không thỏa mãn điều kiện  x > 7 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

**Hy vọng rằng những dạng bài tập trên sẽ giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo và rèn luyện hiệu quả trong quá trình ôn thi. Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

16 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán

16 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán đã được cập nhật. Để làm quen với các dạng bài hay gặp trong đề thi,...

Theo: vietjack.com

Link bài gốc: https://www.vietjack.com/tai-lieu-mon-toan/tai-lieu-mon-toan-on-thi-vao-lop-10.jsp